Der Mittelwert erzählt nicht die ganze Geschichte

Wir sagen, etwas geschehe im Durchschnitt, und es scheint, als wäre die Beschreibung vollständig. Doch ein Mittelwert kann Extremwerte, unterschiedliche Gruppen oder eine schlecht ausgewählte Stichprobe verbergen. Die Berechnung muss nicht falsch sein: Vielleicht beantwortet sie eine andere Frage, als die lesende Person annimmt. Der erste Schritt besteht darin, die mathematische Operation von der Interpretation zu trennen.

Ein Beispiel, das wir überprüfen können

Nehmen wir fünf fiktive Wartezeiten, angegeben in Minuten: 2, 3, 3, 4 und 18. Ihre Summe beträgt 30 und der arithmetische Mittelwert ist 6. Der Median, der mittlere Wert der geordneten Daten, ist 3. Beide Ergebnisse sind korrekt. Dennoch kann die Aussage, eine typische Wartezeit habe sechs Minuten betragen, ein wenig zutreffendes Bild von vier der fünf Erfahrungen vermitteln.

Dieses Beispiel ist eigens zu Lehrzwecken erstellt und beschreibt keinen realen Dienst. Die Erklärung von Lagemaßen von OpenStax bietet die Definitionen, mit denen sich das überprüfen lässt. Der Mittelwert verwendet die Werte aller Beobachtungen; der Median hängt von ihrer Position in der geordneten Reihe ab.

Was passiert, wenn wir einen Extremwert ändern

Ersetzen wir 18 durch 38. Jetzt beträgt die Summe 50 und der Mittelwert steigt auf 10, während der Median bei 3 bleibt. Es geht nicht darum, dass ein Maß gut und das andere schlecht wäre. Wir haben beobachtet, dass sie auf eine Veränderung der Datenreihe unterschiedlich reagieren. Genau diesen Unterschied müssen wir möglicherweise vermitteln.

Der Mittelwert ist nützlich, wenn wir die Gesamtzeit auf die Anzahl der Personen aufteilen möchten. Der Median kann helfen, wenn wir nach dem Wert fragen, der die Hälfte der Beobachtungen auf jeder Seite zurücklässt. Wenn uns die schlechteste Erfahrung interessiert, reicht keines von beiden: Wir sollten die Verteilung, ihre Extremwerte und deren Häufigkeit untersuchen.

Auch die Streuung ist eine Information

Zwei Gruppen können denselben Mittelwert haben und sich dennoch sehr unterschiedlich verhalten. In einem fiktiven Beispiel enthält Gruppe A die Werte 5, 5 und 5; Gruppe B enthält 1, 5 und 9. Der Mittelwert beider Gruppen ist 5. Doch in der zweiten liegen die Beobachtungen weiter auseinander. Sie mit derselben Zahl zusammenzufassen, würde diesen Unterschied auslöschen.

Der Leitfaden des NIST zu Streuungsmaßen beschreibt Möglichkeiten, Streuung zu quantifizieren. Die Spannweite betrachtet die Extremwerte; andere Maße verwenden Abweichungen von einem Zentrum oder Positionen innerhalb der geordneten Daten. Jede Wahl hat andere Empfindlichkeiten. Ein Punktdiagramm kann mehr aussagen, als eine zusätzliche Zahl ohne Erklärung.

Mehr Daten beheben nicht jedes Problem

Bevor wir eine Stichprobe interpretieren, müssen wir wissen, woher sie stammt. Nur diejenigen zu befragen, die freiwillig geantwortet haben, kann zu einer Zusammensetzung führen, die sich von der zu beschreibenden Bevölkerung unterscheidet. Eine größere Zahl von Antworten über denselben Mechanismus garantiert nicht, dass der Auswahlbias verschwindet.

Die Einführung in die Stichprobenziehung von OpenStax hilft, Grundgesamtheit, Stichprobe und Variabilität zu unterscheiden. Wenn eine Schlagzeile von allen Menschen spricht, die Studie aber eine bestimmte Gruppe untersucht hat, braucht eine Verallgemeinerung zusätzliche Begründungen. Die Genauigkeit einer Berechnung ersetzt nicht die Qualität des Studiendesigns.

Nicht alle Intervalle sagen dasselbe aus

Eine Standardabweichung fasst die Variabilität der Daten zusammen; ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert betrifft die Schätzung eines Parameters unter einem bestimmten Verfahren und bestimmten Annahmen. Es handelt sich um unterschiedliche Dinge. Das NIST erläutert die Bedingungen für Intervalle zum Mittelwert. Balken in ein Diagramm einzufügen, ohne anzugeben, was sie darstellen, lässt eine wichtige Mehrdeutigkeit bestehen.

Es genügt nicht, dass sich zwei Intervalle überschneiden oder visuell voneinander getrennt sind, um jede Art von Vergleich zu klären. Man muss das Studiendesign, die Abhängigkeiten zwischen den Beobachtungen und die verwendete Analyse kennen. Die Interpretation eines Ergebnisses muss diese Bedingungen berücksichtigen.

Was man von einer Zusammenfassung erwarten sollte

Eine nützliche Zusammenfassung nennt die Variable, ihre Einheit, den Stichprobenumfang, die Art der Auswahl und das angegebene Lagemaß. Sie ergänzt eine Beschreibung der Streuung und erläutert, wie mit Extremwerten umgegangen wurde. Gibt es relevante Untergruppen, kann ihre Darstellung irreführende Schlussfolgerungen über die Gesamtgruppe verhindern.

Mit diesen Informationen findet der Mittelwert wieder seinen Platz: als konkretes Werkzeug innerhalb einer umfassenderen Beschreibung. Die Frage lautet nicht länger, ob wir Durchschnittswerten glauben sollten, sondern: Welche Frage beantwortet dieser Mittelwert, mit welchen Daten und innerhalb welcher Grenzen?

Erst zeichnen, dann zusammenfassen

Der Leitfaden des NIST zum Boxplot vereint zentrale Lage und Streuung in einer Darstellung. Ein Boxplot ersetzt nicht die Daten: Er fasst eine Verteilung anhand von Quantilen zusammen, und die Konvention für die Whisker muss erläutert werden. Ein als Ausreißer markierter Punkt sollte Anlass sein, seine Herkunft zu untersuchen; er berechtigt nicht dazu, ihn zu löschen, um einen bequemeren Mittelwert zu erhalten.

Bei einer kleinen Stichprobe wie unseren fiktiven Wartezeiten bietet die Darstellung der einzelnen Beobachtungen einen Vorteil: Jede Person kann die Zusammenfassung erneut berechnen. Im beigefügten Balkendiagramm entspricht jeder Balken einer Wartezeit, nicht einer Bevölkerungskategorie. Wir schätzen weder die Funktionsweise eines Dienstes noch erstellen wir ein Konfidenzintervall.

Die Frage Welche Erfahrung war üblich? muss von der Frage nach der insgesamt aufgelaufenen Zeit unterschieden werden. Die Tabelle enthält beide Zusammenfassungen und zeigt, was sich durch den Austausch des Extremwerts verändert hat. Die Berechnungen lassen sich nachvollziehen, ohne eine Normalverteilung vorauszusetzen oder die Übung als Studie darzustellen.