La media non racconta tutta la storia

Diciamo che qualcosa accade in media e sembra che la descrizione sia completa. Ma una media può nascondere valori estremi, gruppi diversi o un campione scelto male. Il calcolo non deve per forza essere sbagliato: potrebbe rispondere a una domanda diversa da quella che il lettore immagina. Il primo passo è separare l’operazione matematica dall’interpretazione.

Un esempio che possiamo verificare

Prendiamo cinque tempi di attesa fittizi, espressi in minuti: 2, 3, 3, 4 e 18. La loro somma è 30 e la media aritmetica è 6. La mediana, il valore centrale dei dati ordinati, è 3. Entrambi i risultati sono corretti. Tuttavia, dire che un’attesa tipica è stata di sei minuti può dare un’immagine poco fedele di quattro delle cinque esperienze.

Questo esempio è originale e didattico; non descrive alcun servizio reale. La spiegazione delle misure di tendenza centrale di OpenStax offre le definizioni che permettono di verificarlo. La media utilizza i valori di tutte le osservazioni; la mediana dipende dalla loro posizione nell’ordine.

Cosa succede se cambiamo un valore estremo

Sostituiamo 18 con 38. Ora la somma è 50 e la media sale a 10, mentre la mediana rimane 3. Non è una competizione tra una misura buona e una cattiva. Abbiamo osservato che rispondono in modo diverso a una modifica dell’insieme. Questa differenza può essere proprio ciò che dobbiamo comunicare.

La media è utile se vogliamo ripartire il tempo totale tra il numero di persone. La mediana può aiutare se chiediamo quale sia il punto che lascia metà delle osservazioni da ciascun lato. Se ci preoccupa l’esperienza peggiore, nessuna delle due è sufficiente: dovremmo esaminare la distribuzione, i suoi valori estremi e la frequenza con cui si presentano.

Anche la dispersione è informazione

Due gruppi possono avere la stessa media e comportamenti molto diversi. In un esempio immaginario, il gruppo A contiene 5, 5 e 5; il gruppo B contiene 1, 5 e 9. La media di entrambi è 5. Ma nel secondo la distanza tra le osservazioni è maggiore. Riassumerli con la stessa cifra cancellerebbe questa differenza.

La guida alle misure di dispersione del NIST descrive alcuni modi per quantificare la dispersione. Il campo di variazione considera i valori estremi; altre misure utilizzano gli scarti rispetto a un centro o le posizioni all’interno dei dati ordinati. Ogni scelta ha sensibilità diverse. Un grafico a punti può essere più rivelatore che aggiungere una cifra senza spiegazione.

Più dati non risolvono qualsiasi problema

Prima di interpretare un campione dobbiamo sapere da dove proviene. Interrogare soltanto chi ha risposto volontariamente può produrre una composizione diversa da quella della popolazione che intendiamo descrivere. Aumentare il numero di risposte ottenute con lo stesso meccanismo non garantisce di eliminare il bias di selezione.

L’introduzione al campionamento di OpenStax permette di distinguere popolazione, campione e variabilità. Se un titolo parla di tutte le persone ma lo studio ha osservato un gruppo specifico, la possibilità di generalizzare richiede argomenti aggiuntivi. La precisione di un’operazione non sostituisce la qualità del disegno.

Non tutti gli intervalli dicono la stessa cosa

Una deviazione standard riassume la variabilità tra i dati; un intervallo di confidenza per una media riguarda la stima di un parametro in base a una procedura e a determinate ipotesi. Sono oggetti diversi. Il NIST spiega le condizioni degli intervalli per la media. Aggiungere barre a un grafico senza indicare che cosa rappresentano lascia aperta un’importante ambiguità.

Il fatto che due intervalli si sovrappongano o siano visivamente separati non basta a risolvere qualsiasi confronto. Occorre conoscere il disegno, le dipendenze tra le osservazioni e l’analisi utilizzata. L’interpretazione di un risultato deve rispettare queste condizioni.

Cosa chiedere a un riepilogo

Un riepilogo utile identifica la variabile, la sua unità di misura, la dimensione del campione, il modo in cui è stato selezionato e quale misura di tendenza centrale viene presentata. Aggiunge una descrizione della dispersione e spiega come sono stati trattati i valori estremi. Se esistono sottogruppi rilevanti, mostrarli può evitare conclusioni fuorvianti sull’insieme.

Con queste informazioni, la media ritrova il suo posto: uno strumento specifico all’interno di una descrizione più ampia. La domanda non è più se dobbiamo fidarci delle medie, ma a quale domanda risponde questa media, con quali dati e con quali limiti.

Disegnare prima di riassumere

La guida del diagramma a scatola del NIST riunisce posizione centrale e dispersione in un’unica rappresentazione. Un diagramma a scatola non sostituisce i dati: riassume una distribuzione mediante quantili, e la convenzione dei baffi deve essere spiegata. Un punto contrassegnato come anomalo richiede di indagarne la provenienza; non autorizza a eliminarlo per ottenere una media più comoda.

Per un campione piccolo come i nostri tempi di attesa fittizi, mostrare le singole osservazioni offre un vantaggio: chiunque può ricalcolare il riepilogo. Nel grafico a barre allegato, ogni barra corrisponde a un’attesa, non a una categoria della popolazione. Non stiamo stimando come funziona un servizio né costruendo un intervallo di confidenza.

La domanda quale esperienza è stata abituale va distinta dalla domanda sul tempo totale accumulato. La tabella conserva entrambi i riepiloghi e mostra che cosa è cambiato sostituendo il valore estremo. I calcoli si possono riprodurre senza ipotizzare una distribuzione normale né presentare l’esercizio come uno studio.