Méthodes et instruments : comment combiner les contributions à l’incertitude de mesure

Des composantes individuelles à une incertitude combinée

Une mesure ne détermine généralement pas exactement la valeur de la grandeur examinée. Son résultat est une estimation et, pour que la description soit complète, elle doit être accompagnée d’une expression quantitative de son incertitude. C’est ainsi que le National Institute of Standards and Technology des États-Unis (NIST) présente les choses dans sa note technique sur l’incertitude de mesure. Le document décrit une méthode pour combiner des contributions ; il ne rapporte pas une découverte récente. NIST : classification des composantes de l’incertitude

La grandeur combinée n’est pas n’importe quelle valeur associée à chaque source : le NIST représente chaque contribution par une incertitude-type, équivalente à un écart-type estimé. Le résultat de leur combinaison est appelé incertitude-type composée, avec le symbole suggéré uc</sub>. Le NIST la décrit comme une estimation de l’écart-type du résultat de mesure. NIST : incertitude-type composée

Les contributions peuvent provenir d’évaluations de type A ou de type B. La distinction dépend de la manière dont leurs valeurs numériques sont estimées : une évaluation de type A utilise l’analyse statistique de séries d’observations ; une évaluation de type B est obtenue par d’autres moyens, à partir des informations disponibles et d’une loi de probabilité supposée. Par définition, ces types ne sont pas synonymes d’incertitude « aléatoire » et « systématique » : le NIST avertit que cette correspondance n’est pas nécessairement simple et que la classification dépend de la manière dont la grandeur correspondante apparaît dans le modèle mathématique de la mesure. NIST : classification des composantes de l’incertitude

La règle de combinaison et le rôle des covariances

Le NIST indique que les incertitudes-types individuelles se combinent selon la méthode usuelle de combinaison des écarts-types, appelée loi de propagation de l’incertitude. Dans le cas habituel où l’on combine des composantes non corrélées, on utilise la méthode de la racine de la somme des carrés, abrégée RSS : on élève les contributions au carré, on les additionne puis on prend la racine carrée. Mais la règle générale tient également compte des covariances, le cas échéant. Par conséquent, appliquer la méthode RSS sans tenir compte des relations entre les composantes pourrait ne pas correspondre à la procédure indiquée pour une situation où ces relations sont pertinentes. NIST : incertitude-type composée NIST : classification des composantes de l’incertitude

Le tableau résume les distinctions décrites par le NIST ; il ne constitue ni une liste exhaustive des sources d’incertitude ni une recette pour évaluer une mesure concrète. L’extrait renvoie à une équation de l’annexe A, mais n’en donne pas l’expression. Cette synthèse explique donc le critère général sans reconstruire cette équation ni proposer de calcul numérique. NIST : incertitude-type composée NIST : classification des composantes de l’incertitude

Corrections, effets systématiques et limites de ce qui est combiné

Pour chaque effet systématique reconnu qui influe significativement sur le résultat, le NIST part de la recommandation d’appliquer une correction — ou un facteur de correction — et de lui associer l’incertitude-type de cette correction. La correction peut être positive, négative ou nulle ; son incertitude peut être évaluée selon le type A ou le type B. Le point essentiel est que l’incertitude d’une correction n’est pas l’erreur systématique causée par l’effet. Elle exprime l’incertitude du résultat qui subsiste parce que la valeur requise de la correction n’est pas connue complètement. Confondre « erreur » et « incertitude » efface une distinction essentielle de la méthode. NIST : incertitude-type composée

Le NIST recommande d’appliquer des corrections aux effets systématiques significatifs reconnus, mais admet que des ressources limitées peuvent rendre cette démarche impraticable dans certains cas. Il souligne également que tous les efforts doivent être faits pour identifier ces effets. L’incertitude communiquée doit être conforme aux lignes directrices dans toute la mesure du possible, même lorsqu’il n’est pas pratique d’appliquer une correction. Cela ne transforme pas une source non identifiée en contribution quantifiée : le passage porte sur les effets reconnus et sur l’incertitude associée aux corrections envisagées. NIST : incertitude-type composée

Ce que le résultat permet d’interpréter

Dans de nombreuses situations pratiques, indique le NIST, la loi de probabilité décrite par le résultat y et son incertitude-type composée uc</sub>(y) est approximativement normale (gaussienne). Pour associer l’intervalle y − uc</sub>(y) à y + uc</sub>(y) à un niveau de confiance approximatif de 68 %, le NIST ajoute que l’incertitude de l’incertitude composée elle-même doit être négligeable. La distribution est approximativement normale lorsque les conditions du théorème central limite sont remplies : par exemple, lorsque y est obtenu à partir d’un nombre significatif d’autres grandeurs ayant des lois de probabilité appropriées, que les incertitudes-types de ces grandeurs contribuent dans des proportions comparables à uc</sub>(y) et que l’approximation linéaire implicite dans la propagation est adéquate. Ces conditions fondent l’approximation normale ; le caractère négligeable de l’incertitude de uc</sub>(y) constitue une exigence supplémentaire pour l’interprétation approximative de l’intervalle. Le NIST ne présente donc pas les 68 % comme une propriété automatique de toute incertitude composée. NIST : incertitude-type composée

Il faut aussi distinguer une expression fondée sur uc</sub> d’un intervalle de confiance au sens statistique spécifique. Selon le NIST, ce terme ne convient que lorsque certaines conditions sont remplies, notamment lorsque toutes les composantes contribuant à uc</sub> proviennent d’évaluations de type A. La note propose donc de décrire plus généralement la fraction p de la distribution couverte par un intervalle comme sa probabilité de couverture ou son niveau de confiance, et d’expliciter le fondement de cette interprétation au moment de la communiquer. NIST : incertitude-type composée NIST : communication de l’incertitude

Pour communiquer les résultats, le document du NIST recommande de déclarer l’incertitude élargie U avec le facteur d’élargissement k utilisé pour l’obtenir, ou de déclarer uc</sub>. Il indique également que le rapport doit inclure les composantes d’incertitude-type, la valeur obtenue de uc</sub>, la manière dont chaque composante a été évaluée et, le cas échéant, ses degrés de liberté ; si k n’est pas égal à 2, il faut décrire comment il a été choisi. Si une interprétation probabiliste est proposée, son fondement doit être expliqué. L’incertitude composée résume donc des contributions, mais la signification qu’elle revêt pour le lecteur dépend aussi de la manière dont elle est justifiée et communiquée. NIST : communication de l’incertitude