Metodi e strumenti: come combinare i contributi all’incertezza di misura

Dai singoli componenti a un’incertezza combinata

Una misurazione di solito non determina con esattezza il valore della grandezza esaminata. Il suo risultato è una stima e, perché la descrizione sia completa, deve essere accompagnato da un’espressione quantitativa della sua incertezza. È quanto afferma il National Institute of Standards and Technology degli Stati Uniti (NIST) nella sua nota tecnica sull’incertezza di misura. Il documento descrive un metodo per combinare i contributi; non riferisce una scoperta recente. NIST: classificazione delle componenti di incertezza

La grandezza combinata non è un numero qualsiasi associato a ciascuna fonte: NIST rappresenta ogni contributo mediante un’incertezza standard, equivalente a una deviazione standard stimata. Il risultato della combinazione è chiamato incertezza standard combinata, con il simbolo suggerito uc</sub>. NIST la descrive come una stima della deviazione standard del risultato di misura. NIST: incertezza standard combinata

I contributi possono derivare da valutazioni di Tipo A o Tipo B. La distinzione dipende da come vengono stimati i loro valori numerici: una valutazione di Tipo A utilizza l’analisi statistica di serie di osservazioni; una di Tipo B si ottiene con altri mezzi, sulla base delle informazioni disponibili e di una distribuzione di probabilità presunta. Per definizione, non sono sinonimi di incertezza «casuale» e «sistematica»: NIST avverte che tale corrispondenza non è necessariamente semplice e che la classificazione dipende da come la grandezza corrispondente compare nel modello matematico della misurazione. NIST: classificazione delle componenti di incertezza

La regola di combinazione e il ruolo delle covarianze

NIST indica che le singole incertezze standard si combinano con il metodo abituale per combinare le deviazioni standard, noto come legge di propagazione dell’incertezza. Nel caso consueto di componenti non correlate, si usa il metodo della radice della somma dei quadrati, abbreviato RSS: si elevano al quadrato i contributi, li si somma e si estrae la radice quadrata. La regola generale, tuttavia, tiene conto anche delle covarianze quando pertinenti. Applicare RSS senza considerare le relazioni tra componenti potrebbe quindi non rappresentare la procedura indicata in una situazione in cui tali relazioni sono rilevanti. NIST: incertezza standard combinata NIST: classificazione delle componenti di incertezza

La tabella riassume le distinzioni descritte da NIST; non è un elenco esaustivo delle fonti di incertezza né una procedura per valutare una misurazione concreta. L’estratto rimanda a un’equazione dell’appendice A, ma non ne riporta l’espressione. Questa sintesi spiega quindi il criterio generale senza ricostruire l’equazione né fornire un calcolo numerico. NIST: incertezza standard combinata NIST: classificazione delle componenti di incertezza

Correzioni, effetti sistematici e limiti di ciò che si combina

Per ogni effetto sistematico riconosciuto che influisce in modo significativo sul risultato, NIST parte dalla raccomandazione di applicare una correzione — o un fattore di correzione — e associarle l’incertezza standard di tale correzione. La correzione può essere positiva, negativa o zero; la sua incertezza può essere valutata con il Tipo A o il Tipo B. Il punto importante è che l’incertezza di una correzione non è l’errore sistematico causato dall’effetto. Esprime l’incertezza del risultato residua perché il valore richiesto della correzione non è noto completamente. Confondere «errore» e «incertezza» cancella una distinzione essenziale del metodo. NIST: incertezza standard combinata

NIST raccomanda di applicare correzioni agli effetti sistematici significativi riconosciuti, ma riconosce che risorse limitate possono rendere la procedura non sempre praticabile. Aggiunge inoltre che occorre fare ogni sforzo per identificare tali effetti. L’incertezza comunicata deve attenersi alle linee guida nella misura più ampia possibile, anche nei casi in cui applicare una correzione non sia praticabile. Questo non trasforma una fonte non identificata in un contributo quantificato: il passaggio riguarda gli effetti riconosciuti e l’incertezza associata alle correzioni considerate. NIST: incertezza standard combinata

Cosa consente di interpretare il risultato

In molte situazioni pratiche, afferma NIST, la distribuzione di probabilità descritta dal risultato y e dalla sua incertezza standard combinata uc</sub>(y) è approssimativamente normale (gaussiana). Per associare all’intervallo da y − uc</sub>(y) a y + uc</sub>(y) un livello di confidenza approssimativo del 68 %, NIST aggiunge che l’incertezza combinata stessa deve essere trascurabile. La distribuzione è approssimativamente normale quando sono soddisfatte le condizioni del teorema centrale del limite: per esempio, quando y è ottenuto a partire da un numero significativo di altre grandezze con distribuzioni di probabilità adeguate, le incertezze standard di tali grandezze contribuiscono con entità comparabili a uc</sub>(y) ed è adeguata l’approssimazione lineare implicita nella propagazione. Queste condizioni giustificano l’approssimazione normale; l’incertezza trascurabile di uc</sub>(y) è un requisito aggiuntivo per l’interpretazione approssimativa dell’intervallo. Pertanto, NIST non presenta il 68 % come una proprietà automatica di ogni incertezza combinata. NIST: incertezza standard combinata

Occorre inoltre distinguere un’espressione basata su uc</sub> da un intervallo di confidenza nel senso statistico specifico. Secondo NIST, il termine è appropriato solo quando sono soddisfatte determinate condizioni, tra cui il fatto che tutte le componenti che contribuiscono a uc</sub> derivino da valutazioni di Tipo A. La nota propone quindi di descrivere più in generale la frazione p della distribuzione coperta da un intervallo come la sua probabilità di copertura o il suo livello di confidenza, e di esplicitare su cosa si basa tale interpretazione quando la si comunica. NIST: incertezza standard combinata NIST: comunicazione dell’incertezza

Nella comunicazione dei risultati, il materiale NIST raccomanda di riportare l’incertezza estesa U insieme al fattore di copertura k utilizzato per ottenerla, oppure di riportare uc</sub>. Indica inoltre che il rapporto deve includere le componenti di incertezza standard, il valore risultante di uc</sub>, il modo in cui ciascuna componente è stata valutata e, quando opportuno, i relativi gradi di libertà; se k non è 2, occorre descrivere come è stato scelto. Se si fornisce un’interpretazione probabilistica, bisogna spiegarne la base. L’incertezza combinata riassume quindi i contributi, ma il suo significato per chi legge un risultato dipende anche da come viene giustificata e comunicata. NIST: comunicazione dell’incertezza